Ok, ich kenne die Lösung nicht.
Aber es muss so sein.
Peter bekommt das Produkt aus 2 Primzahlen, denn er darf maximal 2 Möglichkeiten haben wir er diese Zahl durch ein Produkt darstellen kann. Er darf deshalb nur 2 Möglichkeiten haben, weil Simon anhand seiner Information, dass er weiß, dass Peter die Lösung nicht kennt, eine der beiden Möglichkeiten ausräumt. Somit kann dann Peter die Lösung wissen und somit auch Simon.
Das ist alles recht kompliziert wenn ich das so schreibe, deswegen mache ich das konkreter. Nehmen wir an Simon bekommt eine Summe aus einer Primzahl und 1. Dann kann er nicht sicher sagen, dass Peter es nicht weiß. Denn wenn Peter diese Primzahl als Zahl hätte, so gibt es nur die 1 und diese Primzahl als Lösung. Beispiel. Peter bekommt als Produkt die Zahl 7. So gibt es nur 7 und 1 als Lösung. Also darf Simon keine 8 als Summe haben, denn sonst gibt es die Möglichkeit, dass Simon die Zahl weiß. (Selbiges denkt sich übrigens gerade auch Daniel
)
Also darf Simon keine Zahl haben, die der direkte Nachfolger einer Primzahl ist.
Gehen wir weiter: Wenn nun also Simon keinen direkten Nachfolger einer Primzahl hat, so kann er sagen, dass Peter die Lösung nicht wissen kann. (Denn Peter hat dann auf jeden Fall mindestens 2 Möglichkeiten, wie sein Produkt aussehen kann). Peter darf aber maximal 2 Möglichkeiten haben wir er sein Produkt bilden kann, nämlich folgende:
1. Primzahl mal Primzahl
2. ein mal (Primzahl mal Primzahl) (es sei mir die unmathematische Schreibweise verziehen)
Da Peter sein Produkt eindeutig in diese 2 Möglichkeiten zerlegen kann, so kann er sich auch die 2 Möglichkeiten denken, die Simon als Summe hat. Wenn nun Simon sagt, dass er wusste, dass Peter es nicht weiß, dann bedeutet es, dass die Summe kein Nachfolger einer Primzahl ist (wie oben dargestellt) und dadurch weiß Peter die Zahlen.
Wir müssen also nach einer Primzahl suchen, deren Nachfolger sich durch eine Summe aus 2 Primzahlen (eindeutig) darstellen lässt. Das Produkt aus diesen beiden Primzahlen wäre eine Lösung und die 1 wäre die andere Lösung. Dabei gibt es aber viele Möglichkeiten. Ich zähle mal ein paar auf:
3 und 5, denn: 3+5 = 8 Was der Nachfolger einer Primzahl ist (7 ist Primzahl). Ich exerziere an diesem Beispiel wohl nochmal alle Gedankengänge durch, zum besseren Verständnis. Also Peter bekommt die Zahl 15 als Produkt aus den 2 Zahlen. Peter weiß, dass er das Produkt nur aus den Zahlen 1 und 15 darstellen kann und aus den Zahlen 3 und 5. Das bedeutet Simon hat entweder die Zahl 16 oder die Zahl 8.
Hätte Simon die Zahl 8, so kann sich Simon aber wiederum nicht sicher sein, dass Peter nicht die Zahl 7 hat (Denn 7*1=7 und 7+1=8) und wenn Peter die Zahl 7 hätte, so wüsste Peter, dass er als Lösung die Zahlen 7 und 1 hat.)
Also weiß Peter, dass Simon die Zahl 8 nicht hat und dass er somit die Zahlen 3 und 5 nicht hat, sondern 1 und 15. Somit wären 1 und 15 die gesuchten Zahlen.
Anderes Beispiel. Die Zahlen 3 und 11. Dann wäre 3+11=14 (13 ist Primzahl, also ist 14 der Nachfolger). Also Peter bekommt das Produkt aus den beiden Zahlen, also 33. Er weiß, dass er dieses Produkt nur aus den Zahlen 3 und 11 darstellen kann und aus den Zahlen 1 und 32. Da Simon weiß, dass Peter die Lösung nicht weiß, weiß Peter, dass Simon nicht die 14 haben kann (Da Peter sonst 1 * 13 als eindeutige Lösung wissen könnte), sondern Simon muss die Zahl 33 haben. Dadurch weiß Peter die Lösung, nämlich 1 und 33.
Andere Beispiele:
7 und 11
11 und 13
17 und 31
7 und 53
und viele viele mehr. All diese Beispiel haben die Gemeinsamkeit, dass 1 eine Lösung wäre. (Ihr könnt ja mal durchprobieren)
Da nun 1 bei all diesen Möglichkeiten mit 2 Primzahlen dieser Eigenschaft eine Lösung wäre denkt sich Daniel natürlich, dass 1 eine der beiden Zahlen ist. Aber 1 ist keine richtige Lösung, sagt Peter.
Wir müssen also nach einer Möglichkeit suchen, bei der 1 keine Lösung ist. 1 ist dann keine Lösung, wenn 1 mal x größer als 1000 wäre, denn dann ist x auch größer als 1000 und wäre demnach nicht mehr in dem Bereich aus dem die Zahlen sein dürfen.
Ok, nehmen wir folgende Möglichkeit an:
Also Peter bekommt ein Produkt aus 3 Primzahlen. Die Möglichkeit, dass es 1 * p1*p2*p3 ist wird dadurch ausgeschlossen, dass p1*p2*p3>1000 ist und somit nicht als Lösung dienen kann. So gibt es noch die folgenden beiden Möglichkeiten:
Erstens:
(p1*p2) + p3 = p4+1 wobei (p1*p2) < 1001 und p3 < 1001 und p4 < 1001
p1 + (p2*p3) = p5+1 wobei (p2*p3) < 1001 und p1 < 1001 und p5 < 1001
p2 + (p1*p3) = x wobei (p1*p3) < 1001 und p2 < 1001
Wobei x kein Nachfolger einer Primzahl ist.
Peter bekommt eine Zahl, die er in 3 Primfaktoren p1, p2 und p3 zerlegen kann. Die Lösung 1 und (p1*p2*p3) scheidet aus, da sie größer als 1000 ist. Nun gibt es noch die Möglichkeiten, dass die beiden Zahlen (p1*p2) und p3 oder (p2*p3) und p1 oder (p1*p3) un p2 sind. Da aber wie oben dargestellt die Summe aus den Zahlen der ersten beiden Lösungen eine Primzahl + 1 ergibt, die wiederum kleiner als 1000 ist, scheiden diese beiden Möglichkeiten für Simon aus und somit weiß Peter seine Lösung, nämlich p2 und (p1*p3).
Zweitens:
(p1*p2) + p3 = y wobei (p1*p2) < 1001 und p3 < 1001
p1 + (p2*p3) = p5+1 wobei (p2*p3) < 1001 und p1 < 1001 und p5<1001
p2 + (p1*p3) = x wobei (p1*p3) > 1001 und p2 < 1001
Wobei x und y kein Nachfolger einer Primzahl ist.
Hier macht Peter wieder eine Primfaktorenzerlegung. Er weiß, dass die Lösung mit den beiden Zahlen p2 und (p1*p3) nicht in Frage kommen kann, dann (p1*p3) größer als 1000 ist. Trivialerweise kommt dann auch nicht die Möglichkeit in Frage, dass die beiden Zahlen 1 und (p1*p2*p3) die Lösung sind. Wenn nun Simon sagt, dass er weiß, dass Peter die Lösung nicht kennen kann, so fällt wieder die Möglichkeit weg, dass p1 und (p2*p3) die Lösung sind. Somit sind (p1*p2) und p3 die gesuchten Zahlen.
Angesichts der Fülle an Möglichkeiten und meiner Unfähigkeit für diesen Ansatz ein Computerprogramm zu schreiben, das alle Möglichkeiten durchgeht, bitte ich lediglich um Verifizierung dieses Ansatzes anhand der richtigen Lösung.
Hier noch ein Link zu allen Primzahlen von 1 bis 1000:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/primzahlen.html
mfg Michi
