Duzen im Englischen ist ja nun nicht so außergewöhnlich.
Vermutlich meinst du den Vornamen. Der und im Deutschen das Du sind bei uns in den allermeisten Fällen üblich, aber natürlich erst nach persönlicher Bekanntschaft.
Da es ein Schreiben an Dritte ist, würde ich auch eher den vollen Titel nennen. Allerdings ist "Dr. habil." mir kaum je untergekommen, da vermutlich die meisten habils sehr schnell PD werden und dann meist nur noch der genannt wird. "Mr. Dr." ist im Englischen meines Wissens übrigens völlig unüblich, den Mr. wegzulassen also eine klare Angelegenheit.
Das Motivationsschreiben würde ich, wenn obenauf schon ein direktes Anschreiben liegt, anredelos belassen. Aber natürlich auf keinen Fall mit einem "Ich" beginnen.
Etwas überrascht bin ich, dass eine Bewerbung für Erasmus auf Deutsch erfolgt. Ganz sicher, dass du da keine Klausel übersehen hast?
Ach ja, Offtopic: Kann man nicht auch PD werden, ohne sich habilitiert zu haben? Oder sind beispielsweise Leute aus der Wirtschaft, die an einer Uni Vorlesungen halten, dann zwar private Dozenten, aber keine Privatdozenten?